10 Exercícios Avançados de Progressão Geométrica com Resolução

 As progressões geométricas são um tópico matemático fascinante e versátil que tem aplicações em várias áreas da matemática, ciência e engenharia. Neste artigo, apresentaremos 10 exercícios avançados de progressão geométrica, juntamente com soluções detalhadas para desafiar e aprimorar ainda mais suas habilidades nesse campo.

Exercício 1: Encontre o quarto termo de uma PG onde ${�}_1=3$ e a soma infinita é igual a 6.

Solução: Primeiro, verificamos se a PG converge. A soma infinita é igual a 6, o que significa que a PG converge. Usaremos a fórmula da soma infinita para encontrar ${�}_{\mathrm{\infty }}$:

${�}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{�}_1}{1-�}=6$

Agora, podemos resolver para $�$:

$3=6(1-�)$ $1-�=\frac{1}{2}$ $�=\frac{1}{2}$

Agora, podemos encontrar o quarto termo:

${�}_4={�}_1\cdot {�}^{(4-1)}=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{8}$

Exercício 2: Calcule a soma dos primeiros 10 termos de uma PG com ${�}_1=4$ e $�=-2\mathrm{/}3$.

Solução: Primeiro, verificamos se a PG converge. A razão $�$ é negativa, o que indica uma PG decrescente. A soma dos primeiros $�$ termos de uma PG pode ser calculada usando a fórmula:

${�}_{�}={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Substituindo os valores:

${�}_{10}=4\cdot \frac{1-{(-\frac{2}{3})}^{10}}{1+\frac{2}{3}}$

Agora, calcule a soma:

${�}_{10}\approx 4\cdot \frac{1-\frac{1024}{59049}}{\frac{5}{3}}\approx 4\cdot \frac{1-\frac{1024}{59049}}{\frac{5}{3}}\approx \frac{4}{5}\cdot \left(\frac{59049-1024}{3}\right)\approx \frac{4}{5}\cdot \frac{58025}{3}\approx \frac{4\cdot 58025}{5\cdot 3}\approx \frac{232100}{15}\approx 15473.$

Exercício 3: Determine o valor de $�$ para que a soma dos primeiros $�$ termos de uma PG com ${�}_1=2$ seja igual a 3 vezes o quinto termo da mesma PG.

Solução: Primeiro, encontremos a fórmula para a soma dos primeiros $�$ termos da PG:

${�}_{�}={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Agora, sabemos que a soma dos primeiros $�$ termos é igual a 3 vezes o quinto termo da PG:

$3\cdot {�}_5={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Substituindo os valores:

$3\cdot 2=2\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Agora, simplificamos:

$6=\frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Multiplique ambos os lados por $1-�$:

$6(1-�)=1-{�}^{�}$

Agora, resolvemos para $�$:

$6-6�=1-{�}^{�}$

$6�-{�}^{�}=5$

$�(6-{�}^{(�-1)})=5$

Aqui, podemos perceber que $�$ é a razão da PG, e $6-{�}^{(�-1)}$ é um número inteiro. Portanto, $6-{�}^{(�-1)}$ deve ser um divisor de 5.

No entanto, os únicos divisores de 5 são 1 e 5. Portanto, temos duas possibilidades:

1. $6-{�}^{(�-1)}=1$ Neste caso, ${�}^{(�-1)}=6-1=5$, o que implica que $�$ é 5, e então, $�-1=1$. Portanto, $�=2$.

2. $6-{�}^{(�-1)}=5$ Neste caso, ${�}^{(�-1)}=6-5=1$. Isso significa que $�$ é 1, e então, $�-1=0$. Portanto, $�=1$.

Exercício 4: Encontre o valor de $�$ para que o $�$-ésimo termo de uma PG com ${�}_1=7$ seja igual a 2187.

Solução: Primeiro, usamos a fórmula geral para o $�$-ésimo termo da PG:

${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}$

Agora, substituímos os valores:

$2187=7\cdot {�}^{(�-1)}$

Dividimos ambos os lados por 7:

${�}^{(�-1)}=\frac{2187}{7}$

Agora, queremos encontrar o valor de $�$. Para fazer isso, observamos que 2187 é igual a $3^7$. Portanto, podemos escrever:

${�}^{(�-1)}=\frac{3^7}{7}$

Agora, podemos igualar $�-1$ ao expoente do 3:

$�-1=7$

$�=8$

Exercício 5: Calcule a soma dos primeiros 5 termos de uma PG onde ${�}_1=6$ e a razão $�$ é tal que ${�}^3=8$.

Solução: Primeiro, encontramos o valor de $�$:

${�}^3=8$

$�=\sqrt[3]{8}$

$�=2$

Agora, usamos a fórmula da soma dos primeiros $�$ termos da PG:

${�}_{�}={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Substituímos os valores:

${�}_5=6\cdot \frac{1-2^5}{1-2}$

Agora, calculamos a soma:

${�}_5=6\cdot \frac{1-32}{-1}$

${�}_5=6\cdot \frac{-31}{-1}$

${�}_5=6\cdot 31$

${�}_5=186$

Exercício 6: Encontre a soma infinita de uma PG com ${�}_1=4$ e $�=-1\mathrm{/}4$.

Solução: Neste caso, a soma infinita converge, pois $\mathrm{\mid }-1\mathrm{/}4\mathrm{\mid }<1$. Usamos a fórmula da soma infinita:

${�}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{�}_1}{1-�}=\frac{4}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot 4}{5}=\frac{16}{5}\mathrm{.}$

Exercício 7: Determine o valor de $�$ para que a soma dos primeiros $�$ termos de uma PG com ${�}_1=3$ seja igual a 81 vezes o terceiro termo da mesma PG.

Solução: Primeiro, usamos a fórmula da soma dos primeiros $�$ termos da PG:

${�}_{�}={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Agora, sabemos que a soma dos primeiros $�$ termos é igual a 81 vezes o terceiro termo da PG:

$81\cdot {�}_3={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Substituímos os valores:

$81\cdot 3=3\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Agora, simplificamos:

$243=\frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Multiplicamos ambos os lados por $1-�$:

$243(1-�)=1-{�}^{�}$

Agora, resolvemos para $�$:

$243(1-�)-1=-{�}^{�}$

$243(1-�)-1=(-1{)}^{�}\cdot {�}^{�}$

Aqui, $243(1-�)-1$ é um número inteiro, e o lado direito é $(-1{)}^{�}\cdot {�}^{�}$. Portanto, o lado direito deve ser um número inteiro. Para que isso aconteça, $�$ deve ser um número par, já que $(-1{)}^{�}$ será sempre 1 se $�$ for par e -1 se $�$ for ímpar.

Exercício 8: Encontre o oitavo termo de uma PG onde ${�}_1=10$ e a razão $�$ é tal que ${�}^3=1\mathrm{/}1000$.

Solução: Primeiro, encontramos o valor de $�$:

${�}^3=\frac{1}{1000}$

$�=\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}$

$�=\frac{1}{10}$

Agora, usamos a fórmula para o $�$-ésimo termo da PG:

${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}$

Substituímos os valores:

${�}_8=10\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^7$

Agora, calculamos o oitavo termo:

${�}_8=10\cdot \frac{1}{10^7}=\frac{10}{10^7}=\frac{1}{10^6}$

Exercício 9: Calcule a soma dos primeiros 7 termos de uma PG com ${�}_1=5$ e $�=-1\mathrm{/}5$.

Solução: Neste caso, a soma dos primeiros 7 termos da PG pode ser calculada usando a fórmula da soma dos primeiros $�$ termos:

${�}_{�}={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Substituímos os valores:

${�}_7=5\cdot \frac{1-{(-\frac{1}{5})}^7}{1-(-\frac{1}{5})}$

Agora, calculamos a soma:

${�}_7=5\cdot \frac{1-\frac{1}{78125}}{1+\frac{1}{5}}$

${�}_7=5\cdot \frac{1-\frac{1}{78125}}{\frac{6}{5}}$

${�}_7=5\cdot \frac{\frac{78125-1}{78125}}{\frac{6}{5}}$

${�}_7=5\cdot \frac{\frac{78124}{78125}}{\frac{6}{5}}$

${�}_7=5\cdot \frac{78124}{78125}\cdot \frac{5}{6}$

${�}_7=\frac{78124}{12500}=\frac{78124}{12500}\cdot \frac{4}{4}=\frac{312496}{50000}=\frac{62499.2}{10000}=6.24992$

Exercício 10: Determine o valor de $�$ para que a soma dos primeiros $�$ termos de uma PG com ${�}_1=2$ seja igual a 100 vezes o quarto termo da mesma PG.

Solução: Primeiro, usamos a fórmula da soma dos primeiros $�$ termos da PG:

${�}_{�}={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Agora, sabemos que a soma dos primeiros $�$ termos é igual a 100 vezes o quarto termo da PG:

$100\cdot {�}_4={�}_1\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Substituímos os valores:

$100\cdot 2=2\cdot \frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Agora, simplificamos:

$200=\frac{1-{�}^{�}}{1-�}$

Multiplicamos ambos os lados por $1-�$:

$200(1-�)=1-{�}^{�}$

Agora, resolvemos para $�$:

$200(1-�)-1=-{�}^{�}$

$200(1-�)-1=(-1{)}^{�}\cdot {�}^{�}$

Aqui, $200(1-�)-1$ é um número inteiro, e o lado direito é $(-1{)}^{�}\cdot {�}^{�}$. Portanto, o lado direito deve ser um número inteiro. Para que isso aconteça, $�$ deve ser um número ímpar, já que $(-1{)}^{�}$ será sempre 1 se $�$ for par e -1 se $�$ for ímpar. Portanto, $�$ deve ser um número ímpar.

Conclusão

Estes exercícios avançados de progressão geométrica servem como um desafio para aprofundar sua compreensão desse importante tópico matemático. Resolver problemas complexos envolvendo PGs requer um entendimento sólido das fórmulas e propriedades subjacentes. À medida que você domina esses conceitos, estará preparado para aplicá-los em diversas áreas, como matemática, ciências e engenharia, onde as progressões geométricas desempenham um papel significativo.

A resolução detalhada de cada exercício fornece uma orientação passo a passo para ajudar a superar desafios mais complexos. Praticar com exercícios avançados é fundamental para consolidar seu conhecimento e fortalecer suas habilidades em matemática. A matemática é uma disciplina que se baseia na resolução de problemas, e as progressões geométricas são uma parte importante desse processo.

À medida que você continua a explorar a matemática e suas aplicações, o domínio das progressões geométricas se torna uma ferramenta valiosa para modelar e entender fenômenos, padrões e progressões complexas, proporcionando um alicerce sólido para desafios matemáticos mais avançados.