20 Exercícios de Regra de Três Composta: Desafie suas Habilidades Matemáticas

 A regra de três composta é uma ferramenta poderosa que nos permite solucionar problemas complexos envolvendo proporções e relações entre três ou mais grandezas. Ela é amplamente aplicada em situações do mundo real, desde finanças até engenharia e ciências. Neste conjunto de 20 exercícios, você terá a oportunidade de aprimorar suas habilidades matemáticas e testar seu conhecimento em uma variedade de cenários desafiadores. Cada exercício apresenta uma situação específica que requer o uso da regra de três composta para encontrar uma grandeza desconhecida. Prepare-se para expandir seu conhecimento matemático e aprofundar sua compreensão dessa valiosa técnica.

Problema 1: Velocidade Média

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{300\text{ km}}{4\text{ horas}}=\frac{�\text{ km/h}}{1\text{ hora}}$$

Multiplicamos em cruz:

$$300\text{ km}\times 1\text{ hora}=4\text{ horas}\times �\text{ km/h}$$

$$300\text{ km}=4\text{ horas}\times �\text{ km/h}$$

Dividimos ambos os lados por 4 horas:

$$�\text{ km/h}=\frac{300\text{ km}}{4\text{ horas}}$$

$$�\text{ km/h}=75\text{ km/h}$$

Portanto, a velocidade média é de 75 km/h.

Problema 2: Conversão de Moedas

Solução:

Aplicando a regra de três composta:

$$\frac{1\text{ d}\acute{\text{o}}\text{lar}}{0,85\text{ euros}}=\frac{250\text{ d}\acute{\text{o}}\text{lares}}{�\text{ euros}}$$

Multiplicamos em cruz:

$$1\text{ d}\acute{\text{o}}\text{lar}\times �\text{ euros}=0,85\text{ euros}\times 250\text{ d}\acute{\text{o}}\text{lares}$$

$$�\text{ euros}=0,85\text{ euros}\times 250\text{ d}\acute{\text{o}}\text{lares}$$

$$�\text{ euros}=212,5\text{ euros}$$

Portanto, 250 dólares são equivalentes a 212,5 euros.

Problema 3: Tempo e Trabalho

Solução:

Utilizando a regra de três composta:

$$\frac{6\text{ horas}}{1\text{ trabalho}}=\frac{8\text{ horas}}{1\text{ trabalho}}=\frac{�\text{ horas}}{1\text{ trabalho}}$$

Neste caso, as duas primeiras frações são iguais a 1 trabalho, pois representam o tempo necessário para realizar um trabalho. Portanto, o tempo necessário quando trabalham juntas é:

$$�\text{ horas}=6\text{ horas}\times 8\text{ horas}\mathrm{/}(6\text{ horas}+8\text{ horas})$$

$$�\text{ horas}=48\text{ horas}\mathrm{/}14\text{ horas}$$

$$�\text{ horas}\approx 3,43\text{ horas}$$

Portanto, quando trabalham juntas, elas levarão cerca de 3,43 horas para concluir o trabalho.

Problema 4: Mistura de Ingredientes

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{3\text{ partes de suco}}{2\text{ partes de }\acute{\text{a}}\text{gua}}=\frac{�\text{ ml de suco}}{�\text{ ml de }\acute{\text{a}}\text{gua}}$$

Aqui, estamos procurando a quantidade de suco e água necessária para fazer 600 ml da bebida, então X + Y será igual a 600 ml.

Assim, podemos reescrever a equação como:

$$\frac{3}{2}=\frac{�}{600-�}$$

Multiplicamos em cruz:

$$3\times (600-�)=2\times �$$

Expandindo:

$$1800-3�=2�$$

Movendo os termos:

$$1800=5�$$

Agora, isolamos X:

$$�=\frac{1800}{5}$$

$$�=360\text{ ml de suco}$$

E, como X + Y é igual a 600 ml, podemos encontrar a quantidade de água:

$$�=600-�$$

$$�=600-360$$

$$�=240\text{ ml de }\acute{\text{a}}\text{gua}$$

Portanto, você precisaria de 360 ml de suco de laranja e 240 ml de água para fazer a bebida de 600 ml.

Problema 5: Combustível e Distância

Solução:

Aplicando a regra de três composta:

$$\frac{15\text{ km}}{1\text{ litro}}=\frac{450\text{ km}}{�\text{ litros}}$$

Multiplicamos em cruz:

$$15\text{ km}\times �\text{ litros}=1\text{ litro}\times 450\text{ km}$$

$$15�\text{ litros}=450\text{ km}$$

Agora, isolamos C:

$$�\text{ litros}=\frac{450\text{ km}}{15}$$

$$�\text{ litros}=30\text{ litros}$$

Portanto, você precisa de 30 litros de gasolina para percorrer 450 km.

Problema 6: Taxa de Produção

Solução:

Utilizando a regra de três composta:

$$\frac{200\text{ unidades}}{8\text{ horas}}=\frac{1\text{ hora}}{\text{F}\acute{\text{a}}\text{brica A}}=\frac{150\text{ unidades}}{6\text{ horas}}=\frac{1\text{ hora}}{\text{F}\acute{\text{a}}\text{brica B}}$$

Aqui, estamos comparando as taxas de produção de duas fábricas, Fábrica A e Fábrica B. A primeira fração representa a produção por hora da Fábrica A, e a segunda representa a produção por hora da Fábrica B.

Agora, vamos calcular a produção por hora de ambas as fábricas:

Para a Fábrica A:

$$\frac{200\text{ unidades}}{8\text{ horas}}=25\text{ unidades por hora}$$

E para a Fábrica B:

$$\frac{150\text{ unidades}}{6\text{ horas}}=25\text{ unidades por hora}$$

Ambas as fábricas têm uma taxa de produção de 25 unidades por hora, o que significa que elas têm a mesma eficiência em termos de produção por hora.

Problema 7: Diluição de Soluções

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{30\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}=\frac{�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}}{400\text{ g de sal}}$$

Primeiro, calcule a proporção da solução que é sal puro:

$$\frac{30\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}=0,3$$

Isso significa que a solução contém 30% de sal puro.

Agora, calcule a quantidade de solução necessária para obter 400 gramas de sal puro:

$$�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}=400\text{ g de sal}\mathrm{/}0,3$$

$$�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}=\frac{400\text{ g}}{0,3}$$

$$�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}\approx 1333,33\text{ ml}$$

Portanto, você precisaria de aproximadamente 1333,33 ml de solução de ácido com concentração de 30% para obter 400 gramas de sal puro.

Problema 8: Proporção e Escala

Solução:

Utilizando a regra de três composta:

$$\frac{1}{5000}=\frac{4\text{ cm}}{�\text{ metros}}$$

Para encontrar a altura real da árvore em metros, podemos multiplicar em cruz:

$$1\times �\text{ metros}=5000\times 4\text{ cm}$$

$$�\text{ metros}=20000\text{ cm}$$

Agora, vamos converter centímetros para metros, dividindo por 100:

$$�\text{ metros}=\frac{20000\text{ cm}}{100}$$

$$�\text{ metros}=200\text{ metros}$$

Portanto, a altura real da árvore é de 200 metros.

Problema 9: Taxa de Alimentação

Solução:

Utilizando a regra de três composta:

$$\frac{1}{5\text{ horas}}=\frac{1}{3\text{ horas}}=\frac{1}{�\text{ horas}}$$

Para encontrar o tempo necessário para encher o tanque, podemos calcular a taxa de enchimento combinada das torneira e do ralo:

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{1}{5\text{ horas}}-\frac{1}{3\text{ horas}}$$

Para resolver isso, você pode somar as duas frações do lado direito:

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{3-5}{15}$$

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=-\frac{2}{15}$$

Agora, invertemos o sinal negativo e calculamos T:

$$�\text{ horas}=\frac{15}{-2}$$

$$�\text{ horas}=-7,5\text{ horas}$$

No entanto, o tempo não pode ser negativo neste contexto. Portanto, a resposta é que o tanque nunca estará cheio, uma vez que a taxa de esvaziamento é maior que a taxa de enchimento.

Problema 10: Produção em Equipe

Solução:

Utilizando a regra de três composta:

$$\frac{1}{6\text{ horas}}=\frac{1}{8\text{ horas}}=\frac{1}{12\text{ horas}}=\frac{1}{�\text{ horas}}$$

Para encontrar o tempo necessário quando trabalham juntos, podemos calcular a taxa de produção combinada dos três trabalhadores:

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{1}{6\text{ horas}}+\frac{1}{8\text{ horas}}+\frac{1}{12\text{ horas}}$$

Para resolver isso, some as três frações do lado direito:

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{4+3+2}{24}$$

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{9}{24}$$

Agora, simplificamos a fração:

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{3}{8}$$

Agora, invertemos a fração e calculamos T:

$$�\text{ horas}=\frac{8}{3}$$

$$�\text{ horas}\approx 2,67\text{ horas}$$

Portanto, quando trabalham juntos, eles levariam cerca de 2,67 horas para concluir o trabalho.

Problema 11: Mistura de Combustíveis

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{2}{3}=\frac{�\text{ litros de A}}{�\text{ litros de B}}$$

Aqui, estamos procurando as quantidades de A e B para fazer a mistura de combustíveis na proporção de 2:3. Isso significa que X é o dobro de Y. Portanto, podemos escrever Y em termos de X:

$$�\text{ litros de B}=\frac{2}{3}\times �\text{ litros de A}$$

Agora, sabemos que a quantidade total é de 15 litros (2 partes de A + 3 partes de B), então podemos escrever:

$$�\text{ litros de A}+�\text{ litros de B}=15\text{ litros}$$

Substituindo Y em termos de X:

$$�\text{ litros de A}+\frac{2}{3}\times �\text{ litros de A}=15\text{ litros}$$

Agora, some as quantidades de A:

$$(1+\frac{2}{3})\times �\text{ litros de A}=15\text{ litros}$$

$$(\frac{3}{3}+\frac{2}{3})\times �\text{ litros de A}=15\text{ litros}$$

$$\left(\frac{5}{3}\right)\times �\text{ litros de A}=15\text{ litros}$$

Para isolar X, dividimos ambos os lados por $\frac{5}{3}$:

$$�\text{ litros de A}=\frac{15\text{ litros}}{\frac{5}{3}}$$

Lembre-se de que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso:

$$�\text{ litros de A}=15\text{ litros}\times \frac{3}{5}$$

Agora, calcule X:

$$�\text{ litros de A}=9\text{ litros}$$

Agora que sabemos a quantidade de A, podemos encontrar a quantidade de B:

$$�\text{ litros de B}=\frac{2}{3}\times �\text{ litros de A}$$

$$�\text{ litros de B}=\frac{2}{3}\times 9\text{ litros}$$

$$�\text{ litros de B}=6\text{ litros}$$

Portanto, você precisa de 9 litros de combustível A e 6 litros de combustível B para fazer a mistura na proporção de 2:3.

Problema 12: Concentração de Soluções

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{20\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}=\frac{�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}}{400\text{ g de sal}}$$

Primeiro, calcule a proporção da solução que é sal puro:

$$\frac{20\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}=0,2$$

Isso significa que a solução contém 20% de sal puro.

Agora, calcule a quantidade de solução necessária para obter 400 gramas de sal puro:

$$�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}=400\text{ g de sal}\mathrm{/}0,2$$

$$�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}=\frac{400\text{ g}}{0,2}$$

$$�\text{ ml de solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}=2000\text{ ml}$$

Portanto, você precisaria de 2000 ml de solução de sal com uma concentração de 20% para obter 400 gramas de sal puro.

Problema 13: Trabalho em Equipe

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$4\text{ pessoas}=10\text{ dias}=8\text{ pessoas}=�\text{ dias}$$

Aqui, estamos comparando o tempo necessário para concluir um projeto com 4 pessoas em relação ao tempo com 8 pessoas. Primeiro, vamos encontrar a taxa de trabalho das 4 pessoas:

$$4\text{ pessoas}=10\text{ dias}$$

Agora, para encontrar a taxa de trabalho das 8 pessoas, usamos a mesma taxa de trabalho das 4 pessoas, pois se dobrarmos a equipe, o trabalho será concluído em menos tempo:

$$8\text{ pessoas}=\frac{10\text{ dias}}{2}$$

$$8\text{ pessoas}=5\text{ dias}$$

Portanto, com 8 pessoas, o projeto seria concluído em 5 dias.

Problema 14: Rendimento da Colheita

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$1\text{ agricultor}=4\text{ dias}=3\text{ agricultores}=�\text{ dias}$$

Primeiro, encontramos a taxa de trabalho de um agricultor:

$$1\text{ agricultor}=4\text{ dias}$$

Agora, para encontrar a taxa de trabalho de 3 agricultores, multiplicamos a taxa de trabalho de um agricultor por 3, pois eles estão trabalhando juntos:

$$3\text{ agricultores}=4\text{ dias}\times 3$$

$$3\text{ agricultores}=12\text{ dias}$$

Portanto, com a ajuda de 2 outros agricultores, o projeto seria concluído em 12 dias.

Problema 15: Velocidade dos Ventos

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{1}{6\text{ horas}}=\frac{1}{�\text{ horas}}$$

Neste caso, estamos comparando o tempo necessário para percorrer uma distância de 120 km com vento contrário, em relação ao tempo com vento a favor. Primeiro, encontramos a taxa de trabalho com vento a favor:

$$\frac{1}{6\text{ horas}}=\frac{120\text{ km}}{1\text{ trabalho}}$$

Agora, para encontrar o tempo com vento contrário, usamos a mesma taxa de trabalho, pois a velocidade do vento contrário é o dobro da velocidade do veleiro:

$$\frac{1}{�\text{ horas}}=\frac{120\text{ km}}{1\text{ trabalho}}$$

Portanto, o tempo necessário para percorrer a mesma distância com vento contrário é o mesmo, ou seja, 6 horas.

Problema 16: Mistas em Receitas

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{3\text{ partes de farinha}}{2\text{ partes de a}\stackrel{¸}{\text{c}}\acute{\text{u}}\text{car}}=\frac{�\text{ partes de farinha}}{2\text{ partes de a}\stackrel{¸}{\text{c}}\acute{\text{u}}\text{car}}$$

Aqui, estamos dobrando a quantidade da receita, o que significa que X será o dobro da quantidade de farinha. Portanto, podemos reescrever a proporção da seguinte forma:

$$\frac{3}{2}=\frac{2�}{2}$$

Agora, simplificamos:

$$\frac{3}{2}=\frac{�}{1}$$

Portanto, a quantidade de farinha necessária ainda será o dobro da quantidade de açúcar.

Problema 17: Produção em Escala

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$100\text{ pe}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{as}=8\text{ horas}=500\text{ pe}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{as}=�\text{ horas}$$

Primeiro, encontramos a taxa de produção da fábrica:

$$100\text{ pe}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{as}=8\text{ horas}$$

Agora, para encontrar o tempo necessário para produzir 500 peças, usamos a mesma taxa de produção, pois estamos produzindo o mesmo produto:

$$500\text{ pe}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{as}=8\text{ horas}\times 5$$

$$500\text{ pe}\stackrel{¸}{\text{c}}\text{as}=40\text{ horas}$$

Portanto, levaria 40 horas para produzir 500 peças do mesmo produto.

Problema 18: Eficiência Energética

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{75\text{ watts}}{60\text{ watts}}=\frac{�\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}$$

Neste caso, estamos comparando o consumo de energia das duas lâmpadas. Primeiro, encontramos a proporção do consumo de energia da lâmpada B em relação à lâmpada A:

$$\frac{75\text{ watts}}{60\text{ watts}}=\frac{�\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}$$

Agora, simplificamos a fração:

$$\frac{5}{4}=\frac{�\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}$$

Agora, isolamos X:

$$�\mathrm{\%}=\frac{5}{4}\times 100\mathrm{\%}$$

$$�\mathrm{\%}=125\mathrm{\%}$$

Portanto, a lâmpada A é 125% mais eficiente em termos de consumo de energia do que a lâmpada B.

Problema 19: Trabalho em Construção

Solução:

Utilizando a regra de três composta:

$$9\text{ horas}=1\text{ muro}\mathrm{/}\text{Pedreiro A}=6\text{ horas}=1\text{ muro}\mathrm{/}\text{Pedreiro B}=�\text{ horas}=1\text{ muro}\mathrm{/}(\text{Pedreiro A}+\text{Pedreiro B})$$

Primeiro, encontramos a taxa de trabalho do Pedreiro A:

$$9\text{ horas}=1\text{ muro}\mathrm{/}\text{Pedreiro A}$$

Agora, encontramos a taxa de trabalho do Pedreiro B:

$$6\text{ horas}=1\text{ muro}\mathrm{/}\text{Pedreiro B}$$

Agora, para encontrar o tempo necessário quando trabalham juntos, somamos as taxas de trabalho:

$$�\text{ horas}=\frac{1\text{ muro}}{1\text{ muro}\mathrm{/}(\text{Pedreiro A}+\text{Pedreiro B})}$$

$$�\text{ horas}=\frac{1\text{ muro}}{1\mathrm{/}(9\text{ horas}+6\text{ horas})}$$

$$�\text{ horas}=\frac{1\text{ muro}}{1\mathrm{/}15\text{ horas}}$$

$$�\text{ horas}=15\text{ horas}$$

Portanto, quando trabalham juntos, levariam 15 horas para construir o muro.

Problema 20: Taxa de Desconto

Solução:

Usando a regra de três composta:

$$\frac{100\mathrm{\%}}{\mathrm{\$}150}=80\mathrm{\%}\mathrm{/}�\mathrm{\%}$$

Neste caso, estamos calculando o preço de um produto após um desconto de 20% em relação ao preço original de $150. Primeiro, calculamos a proporção do preço com desconto em relação ao preço original:

$$\frac{100\mathrm{\%}}{\mathrm{\$}150}=\frac{80\mathrm{\%}}{�\mathrm{\%}}$$

Agora, simplificamos a fração:

$$\frac{4}{5}=\frac{�\mathrm{\%}}{100\mathrm{\%}}$$

Agora, isolamos X:

$$�\mathrm{\%}=\frac{4}{5}\times 100\mathrm{\%}$$

$$�\mathrm{\%}=80\mathrm{\%}$$

Portanto, o preço do produto após o desconto de 20% será de 80% do preço original, o que equivale a $120. Portanto, o preço do produto após o desconto será de $120.