A regra de três é uma ferramenta matemática poderosa usada para resolver problemas de proporcionalidade em situações do dia a dia. Ela é especialmente útil em concursos, onde você pode encontrar perguntas que envolvem taxas, porcentagens, distâncias e muitos outros tópicos. Neste artigo, apresentaremos 30 problemas de regra de três voltados para concursos, acompanhados de suas resoluções.
Problema 1: Proporção Direta
Se 4 máquinas podem produzir 20 peças em 3 horas, quantas peças 8 máquinas podem produzir em 6 horas?
Resolução: Usaremos uma regra de três simples. A proporção direta é a seguinte:
| Máquinas | Tempo |
|---|---|
| 4 | 3 horas |
| 8 | ? |
Primeiro, encontre a taxa de produção por máquina:
4 máquinas produzem 20 peças em 3 horas, então 1 máquina produz:
(20 peças) / (4 máquinas) = 5 peças/máquina
Agora, calcule a produção de 8 máquinas em 6 horas:
8 máquinas produzem:
(8 máquinas) * (5 peças/máquina) * (6 horas) = 240 peças
Portanto, 8 máquinas podem produzir 240 peças em 6 horas.
Problema 2: Proporção Inversa
Se 5 operários podem construir uma casa em 30 dias, quantos dias levarão 15 operários para construir a mesma casa?
Resolução: Usaremos uma regra de três inversa. A proporção inversa é a seguinte:
| Operários | Dias |
|---|---|
| 5 | 30 dias |
| 15 | ? |
Primeiro, encontre a taxa de trabalho de um operário:
5 operários constroem uma casa em 30 dias, então 1 operário leva:
(30 dias) / (5 operários) = 6 dias
Agora, calcule quanto tempo 15 operários levarão para construir a mesma casa:
15 operários levarão:
(15 operários) * (6 dias) = 90 dias
Portanto, 15 operários levarão 90 dias para construir a mesma casa.
Problema 3: Porcentagem Direta
Se um produto custa R$ 200,00 com um desconto de 20%, qual será o preço final?
Resolução: Para calcular o preço final com o desconto, use uma regra de três. A proporção direta é a seguinte:
| Preço Original | Preço com Desconto |
|---|---|
| R$ 100,00 | R$ 80,00 |
| R$ 200,00 | ? |
Primeiro, encontre a porcentagem do preço com desconto em relação ao preço original:
20% de R$ 200,00 = (20/100) * R$ 200,00 = R$ 40,00
Agora, subtraia o valor do desconto do preço original:
R$ 200,00 - R$ 40,00 = R$ 160,00
Portanto, o preço final com o desconto é R$ 160,00.
Problema 4: Porcentagem Inversa
Um produto custa R$ 120,00 com um desconto de 15%. Qual era o preço original?
Resolução: Para encontrar o preço original, use uma regra de três inversa. A proporção inversa é a seguinte:
| Preço Original | Preço com Desconto |
|---|---|
| R$ ? | R$ 120,00 |
Primeiro, encontre a porcentagem do preço com desconto em relação ao preço original:
15% de R$ ? = (15/100) * R$ ? = 0,15R$
Agora, calcule o preço original:
R$ ? = R$ 120,00 / 0,15 = R$ 800,00
Portanto, o preço original era de R$ 800,00.
Problema 5: Velocidade e Distância
Se um carro viaja a 60 km/h, quanto tempo levará para percorrer uma distância de 240 km?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Velocidade (km/h) | Tempo (h) |
|---|---|
| 60 | ? |
| 240 | ? |
Primeiro, calcule o tempo necessário para percorrer 240 km a uma velocidade de 60 km/h:
Tempo (h) = Distância (km) / Velocidade (km/h) = 240 km / 60 km/h = 4 horas
Portanto, levará 4 horas para percorrer a distância de 240 km.
Problema 6: Consumo de Combustível
Um carro consome 12 litros de gasolina para percorrer 120 km. Qual é o consumo em litros para percorrer 300 km?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Consumo (litros) | Distância (km) |
|---|---|
| 12 | 120 |
| ? | 300 |
Primeiro, calcule o consumo de litros para percorrer 300 km:
Consumo (litros) = (12 litros / 120 km) * 300 km = 30 litros
Portanto, o carro consumirá 30 litros de gasolina para percorrer 300 km.
Problema 7: Juros Simples
Se um investimento de R$ 1.000,00 rende R$ 150,00 de juros em um ano, qual será o rendimento em três anos?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Juros (R$) | Tempo (anos) |
|---|---|
| R$ 150,00 | 1 |
| ? | 3 |
Primeiro, calcule o rendimento em três anos:
Rendimento (R$) = (R$ 150,00 / 1 ano) * 3 anos = R$ 450,00
Portanto, o rendimento em três anos será de R$ 450,00.
Problema 8: Conversão de Medidas
Se uma receita pede 250 ml de leite, quantas xícaras de 150 ml serão necessárias?
Resolução: Para converter as medidas de mililitros (ml) para xícaras, primeiro você precisa saber a relação entre as duas medidas. Suponha que uma xícara tenha capacidade para 150 ml.
Agora, use uma regra de três direta para calcular quantas xícaras de 150 ml são necessárias para 250 ml de leite:
150 ml correspondem a 1 xícara, 250 ml correspondem a quantas xícaras?
Quantidade de xícaras = (250 ml) / (150 ml/xícara) = 5/3 de xícara
Portanto, serão necessárias aproximadamente 1,67 xícaras de 150 ml para obter 250 ml de leite, arredondando para cima para garantir que você tenha quantidade suficiente, você precisará de 2 xícaras de 150 ml de leite.
Problema 9: Taxa de Trabalho
Se um trabalhador realiza uma tarefa em 8 horas, quantos trabalhadores serão necessários para realizar a mesma tarefa em 2 horas?
Resolução: Usaremos uma regra de três inversa. A proporção inversa é a seguinte:
| Trabalhadores | Tempo (horas) |
|---|---|
| 1 | 8 |
| ? | 2 |
Primeiro, calcule quantos trabalhadores serão necessários para realizar a tarefa em 2 horas:
Número de trabalhadores = (1 trabalhador / 8 horas) * 2 horas = 1/4 de trabalhador
Portanto, serão necessários 1/4 de trabalhador, ou seja, um quarto de um trabalhador.
Problema 10: Velocidade Média
Se um carro percorre 150 km a uma velocidade média de 75 km/h, quanto tempo levará para percorrer essa distância?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Distância (km) | Velocidade Média (km/h) | Tempo (horas) |
|---|---|---|
| 150 | 75 | ? |
Primeiro, calcule o tempo necessário para percorrer 150 km a uma velocidade média de 75 km/h:
Tempo (horas) = Distância (km) / Velocidade Média (km/h) = 150 km / 75 km/h = 2 horas
Portanto, levará 2 horas para percorrer 150 km a uma velocidade média de 75 km/h.
Problema 11: Desconto Percentual
Um produto custa R$ 80,00 após um desconto de 20%. Qual era o preço original do produto?
Resolução: Para encontrar o preço original, use uma regra de três inversa. A proporção inversa é a seguinte:
| Preço Original (R$) | Preço com Desconto (R$) |
|---|---|
| R$ ? | R$ 80,00 |
Primeiro, encontre o valor do desconto:
Desconto (R$) = 20% de R$ ? = (20/100) * R$ ? = 0,2R$
Agora, calcule o preço original:
Preço Original (R$) = Preço com Desconto (R$) + Desconto (R$) = R$ 80,00 + R$ 20,00 = R$ 100,00
Portanto, o preço original era de R$ 100,00.
Problema 12: Rendimento de Investimento
Se um investimento de R$ 5.000,00 rende R$ 750,00 de juros, qual é a taxa de juros anual?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Juros (R$) | Capital (R$) | Taxa de Juros (%) |
|---|---|---|
| R$ 750,00 | R$ 5.000,00 | ? |
Primeiro, calcule a taxa de juros anual:
Taxa de Juros (%) = (Juros (R$) / Capital (R$)) * 100% = (R$ 750,00 / R$ 5.000,00) * 100% = 15%
Portanto, a taxa de juros anual é de 15%.
Problema 13: Conversão de Unidades de Medida
Se uma corrida tem uma distância de 10 milhas, qual é a distância equivalente em quilômetros?
Resolução: Para converter de milhas para quilômetros, use a proporção direta:
1 milha = 1,60934 quilômetros
Agora, calcule a distância em quilômetros:
Distância em quilômetros = Distância em milhas * 1,60934 = 10 milhas * 1,60934 = 16,0934 quilômetros
Portanto, a distância é de aproximadamente 16,09 quilômetros.
Problema 14: Taxa de Crescimento
Se uma população de uma cidade cresceu de 10.000 habitantes para 12.000 habitantes em 5 anos, qual é a taxa de crescimento anual?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| População Inicial | População Final | Tempo (anos) | Taxa de Crescimento (%) |
|---|---|---|---|
| 10.000 | 12.000 | 5 | ? |
Primeiro, calcule a taxa de crescimento anual:
Taxa de Crescimento (%) = [(População Final - População Inicial) / População Inicial] / Tempo (anos) * 100% = [(12.000 - 10.000) / 10.000] / 5 * 100% = (2.000 / 10.000) / 5 * 100% = 0,2 * 100% = 20%
Portanto, a taxa de crescimento anual é de 20%.
Problema 15: Rendimento de Poupança
Se uma pessoa investir R$ 1.000,00 em uma poupança que rende 5% ao ano, qual será o montante após 3 anos?
Resolução: Use a fórmula do montante em uma conta de poupança:
Montante = Capital * (1 + Taxa de Juros)^Tempo
Substitua os valores:
Montante = R$ 1.000,00 * (1 + 0,05)^3
Montante = R$ 1.000,00 * (1,05)^3
Montante = R$ 1.000,00 * 1,157625
Montante ≈ R$ 1.157,63
Portanto, o montante após 3 anos será de aproximadamente R$ 1.157,63.
Problema 16: Proporção Direta com Três Grandezas
Se 6 operários podem construir 4 casas em 8 meses, quantos operários serão necessários para construir 10 casas em 5 meses?
Resolução: Usaremos uma regra de três direta com três grandezas. A proporção direta é a seguinte:
| Operários | Casas | Tempo (meses) |
|---|---|---|
| 6 | 4 | 8 |
| ? | 10 | 5 |
Primeiro, calcule a taxa de trabalho de um operário:
6 operários constroem 4 casas em 8 meses, então 1 operário
(4 casas) / (6 operários) = 2/3 de casa
Agora, calcule quantos operários serão necessários para construir 10 casas em 5 meses:
Número de operários = (10 casas / 2/3 de casa) * (8 meses / 5 meses) = (10 / (2/3)) * (8 / 5) = (10 * 3/2) * (8/5) = 30 * (8/5) = 48
Portanto, serão necessários 48 operários para construir 10 casas em 5 meses.
Problema 17: Cálculo de Média
Em uma prova de matemática, um aluno obteve as seguintes notas: 7, 8, 9 e 10. Qual é a média dessas notas?
Resolução: Para calcular a média, some todas as notas e divida pelo número de notas:
Média = (7 + 8 + 9 + 10) / 4 = 34 / 4 = 8,5
Portanto, a média das notas é 8,5.
Problema 18: Desconto Progressivo
Uma loja oferece um desconto progressivo na compra de camisetas: 10% de desconto na primeira, 20% na segunda e 30% na terceira. Se o preço original de uma camiseta é R$ 50,00, qual será o preço total de três camisetas?
Resolução: Primeiro, calcule o preço com desconto para cada camiseta:
Primeira camiseta: 10% de desconto, então custará 90% do preço original: Preço = 0,9 * R$ 50,00 = R$ 45,00
Segunda camiseta: 20% de desconto, então custará 80% do preço original: Preço = 0,8 * R$ 50,00 = R$ 40,00
Terceira camiseta: 30% de desconto, então custará 70% do preço original: Preço = 0,7 * R$ 50,00 = R$ 35,00
Agora, calcule o preço total das três camisetas:
Preço Total = R$ 45,00 + R$ 40,00 + R$ 35,00 = R$ 120,00
Portanto, o preço total das três camisetas é R$ 120,00.
Problema 19: Taxa de Desconto em Série
Um produto é vendido com três descontos consecutivos: 10%, 15% e 20%. Qual é a taxa de desconto total?
Resolução: Para calcular a taxa de desconto total, calcule o complemento percentual de cada desconto e multiplique-os:
Complemento do 1º desconto = 100% - 10% = 90% Complemento do 2º desconto = 100% - 15% = 85% Complemento do 3º desconto = 100% - 20% = 80%
Taxa de Desconto Total = (Complemento do 1º desconto) * (Complemento do 2º desconto) * (Complemento do 3º desconto) = 90% * 85% * 80% = 0,9 * 0,85 * 0,8 = 0,612
Convertendo para porcentagem:
Taxa de Desconto Total = 0,612 * 100% ≈ 61,2%
Portanto, a taxa de desconto total é de aproximadamente 61,2%.
Problema 20: Cálculo de Área
Uma sala tem 4 metros de comprimento e 3 metros de largura. Qual é a área da sala em metros quadrados?
Resolução: Para calcular a área de um retângulo, multiplique o comprimento pela largura:
Área = Comprimento * Largura = 4 metros * 3 metros = 12 metros quadrados
Portanto, a área da sala é de 12 metros quadrados.
Esperamos que esses problemas de regra de três tenham sido úteis para sua preparação para concursos. A regra de três é uma habilidade importante que pode ser aplicada em uma variedade de situações do cotidiano e em questões de matemática em provas de concurso. Continue praticando e aprimorando suas habilidades matemáticas.
Problema 21: Conversão de Moeda
Se a taxa de câmbio atual é de 5 reais por dólar, quanto você receberá em reais se trocar 200 dólares?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Dólares (USD) | Reais (BRL) |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 200 | ? |
Primeiro, calcule a quantidade em reais para 200 dólares:
Quantidade em Reais (BRL) = (200 USD) * (5 BRL/USD) = 1000 BRL
Portanto, você receberá 1000 reais se trocar 200 dólares.
Problema 22: Produção de Energia
Uma usina elétrica gera 800 megawatts de energia por hora. Quantos megawatts de energia serão gerados em 6 horas?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Energia (MW) | Tempo (horas) |
|---|---|
| 800 | 1 |
| ? | 6 |
Primeiro, calcule a quantidade de energia gerada em 6 horas:
Energia (MW) = (800 MW) * (6 horas / 1 hora) = 4800 MW
Portanto, serão gerados 4800 megawatts de energia em 6 horas.
Problema 23: Tempo de Viagem
Um carro percorre 300 quilômetros em 4 horas. Qual é a velocidade média do carro em quilômetros por hora?
Resolução: Para calcular a velocidade média, divida a distância pelo tempo:
Velocidade Média (km/h) = Distância (km) / Tempo (h) = 300 km / 4 h = 75 km/h
Portanto, a velocidade média do carro é de 75 quilômetros por hora.
Problema 24: Taxa de Produção
Uma fábrica produz 500 unidades de um produto em 8 horas de trabalho. Quantas unidades serão produzidas em 12 horas de trabalho?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Produção (unidades) | Tempo (horas) |
|---|---|
| 500 | 8 |
| ? | 12 |
Primeiro, calcule a produção em 12 horas:
Produção (unidades) = (500 unidades) * (12 horas / 8 horas) = 750 unidades
Portanto, serão produzidas 750 unidades em 12 horas de trabalho.
Problema 25: Consumo de Água
Uma família consome 30 litros de água por dia. Quantos litros de água a família consumirá em um mês (30 dias)?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Consumo Diário (litros) | Dias (30 dias) |
|---|---|
| 30 | 1 |
| ? | 30 |
Primeiro, calcule o consumo em um mês:
Consumo Mensal (litros) = (30 litros/dia) * 30 dias = 900 litros
Portanto, a família consumirá 900 litros de água em um mês.
Problema 26: Taxa de Rendimento
Um investimento de R$ 5.000,00 rende R$ 750,00 em juros em um ano. Qual é a taxa de rendimento anual desse investimento?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| Juros (R$) | Capital (R$) | Taxa de Rendimento (%) |
|---|---|---|
| R$ 750,00 | R$ 5.000,00 | ? |
Primeiro, calcule a taxa de rendimento anual:
Taxa de Rendimento (%) = (Juros (R$) / Capital (R$)) * 100% = (R$ 750,00 / R$ 5.000,00) * 100% = 15%
Portanto, a taxa de rendimento anual desse investimento é de 15%.
Problema 27: Conversão de Velocidade
Se um carro está viajando a 80 quilômetros por hora, qual é a velocidade equivalente em metros por segundo?
Resolução: Para converter de quilômetros por hora para metros por segundo, use a proporção direta:
1 quilômetro = 1000 metros 1 hora = 3600 segundos
Agora, calcule a velocidade em metros por segundo:
Velocidade (m/s) = (80 km/h) * (1000 m/km) / (3600 s/h) ≈ 22,22 m/s
Portanto, a velocidade do carro é aproximadamente 22,22 metros por segundo.
Problema 28: Taxa de Variação de População
A população de uma cidade era de 50.000 habitantes em 2010 e aumentou para 60.000 habitantes em 2020. Qual é a taxa de variação anual média da população nesse período?
Resolução: Use uma regra de três direta. A proporção direta é a seguinte:
| População (habitantes) | Ano |
|---|---|
| 50.000 | 2010 |
| 60.000 | 2020 |
Primeiro, calcule a taxa de variação anual média:
Taxa de Variação Anual (%) = [(População Final - População Inicial) / População Inicial] / (Ano Final - Ano Inicial) * 100% = [(60.000 - 50.000) / 50.000] / (2020 - 2010) * 100% = (10.000 / 50.000) / 10 * 100% = 0,2 * 10% = 20%
Portanto, a taxa de variação anual média da população nesse período foi de 20%.
Problema 29: Conversão de Tempo
Se um evento esportivo dura 2 horas e 30 minutos, qual é a duração total em minutos?
Resolução: Para converter horas em minutos, lembre-se de que 1 hora equivale a 60 minutos. Agora, calcule a duração total em minutos:
Duração Total (minutos) = (2 horas * 60 minutos/hora) + 30 minutos = 120 minutos + 30 minutos = 150 minutos
Portanto, a duração total do evento esportivo é de 150 minutos.
Problema 30: Cálculo de Desconto
Um produto é vendido por R$ 120,00 com um desconto de 25%. Qual é o valor do desconto e qual será o preço final?
Resolução: Primeiro, calcule o valor do desconto:
Desconto (R$) = 25% de R$ 120,00 = (25/100) * R$ 120,00 = R$ 30,00
Agora, calcule o preço final com o desconto:
Preço Final (R$) = Preço Original (R$) - Desconto (R$) = R$ 120,00 - R$ 30,00 = R$ 90,00
Portanto, o valor do desconto é de R$ 30,00 e o preço final é de R$ 90,00.
Esperamos que esses problemas de regra de três tenham sido úteis para sua preparação para concursos. A prática constante desses tipos de exercícios matemáticos pode ajudá-lo a desenvolver suas habilidades e se sentir mais confiante ao enfrentar questões desse tipo em provas de concurso.